TEM

Notas de teoría eléctromagnética (TEM):

1. Capítulo 1: Notas sobre cálculo vectorial

Es difícil pensar en algún área de estudio de la física en la que la matemática no esté presente para simplificar la exposición. El estudio de la electricidad y magnetismo no es la excepción. Una introducción o repaso del cálculo vectorial es aconsejable para simplificar el tratamiento de este campo. Las primeras 3 secciones de este capítulo contienen una introducción al cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables, incluyendo el Teorema de Taylor. En la sección 4 se presentan algunos de los teoremas integrales más comunes, como el de Gauss y el de Stokes y el de campos conservativos. La función delta de Dirac es presentada en la sección 5. Dado que una gran cantidad de funciones que se estudian en los capítulos posteriores son funciones de la posición, un análisis del vector de posición es tratado en la sección 6. En la sección 7 se exponen dos teoremas más sobre campos vectoriales, el teorema de unicidad y el teorema de Helmholtz. En la parte final, sección 8, se señalan algunas características del manejo de funciones en el sistema de coordenadas esféricas y el sistema de coordenadas cilíndricas. Un tratamiento detallado de la mayoría de los temas presentados en este capítulo puede ser consultado en libros sobre cálculo vectorial.




2. Cápítulo 2: Electrostática

La interacción eléctrica es una de las cuatro interacciones fundamentales reconocidas que ocurren en la naturaleza. En este capítulo trata las características de la propiedad llamada “carga eléctrica” comenzando por ubicarla dentro del marco general de las interacciones desde el punto de vista de su alcance, en la sección 1. En la sección 2 se exponen dos de las características importantes sobre la carga eléctrica, en particular la referente a la conservación. En la sección 3 se establecen las características de interacción entre dos cargas eléctricas “puntuales” que en su conjunto se consideran como la Ley de Coulomb. La fuerza eléctrica entre distribuciones de carga es considerada en la sección 4.

La fuerza eléctrica vista como una función de la posición permite asociar un campo vectorial, llamado campo eléctrico, con cualquier distribución de carga, de tal manera que las características de la presencia de carga en el espacio son tratadas a través de las propiedades del campo eléctrico. En la sección 5 se presenta la definición del campo eléctrico. En las secciones 6, 7, 8 y 9 se consideran algunos resultados importantes derivados a partir de las características del campo eléctrico. Estos resultados surgen de la aplicación del Teorema de Unicidad de Campos Vectoriales y el Teorema de Helmholtz; en particular, se define al potencial eléctrico asociado con el campo eléctrico.

En ocasiones se requiere de las características más importantes de una distribución de carga, principalmente cuando es observada desde una “gran” distancia, por lo que en la sección 10 se realiza un proceso de aproximación conocido como desarrollo en multipolos, que posteriormente veremos como se relaciona con la solución general de la Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas en el capítulo 4.

Cuando se trata de modelar el comportamiento eléctrico de los materiales el segundo de los términos del desarrollo en multipolos, conocido como la contribución dipolar, es importante; por esta razón, entre otras, se consideran varios resultados referentes a un dipolo eléctrico en algunas de las secciones de este capítulo, las cuales aparecen resumidas en la sección 11, junto con la presentación de algunos otros resultados.

En forma anexa aparecen dos lecturas que corresponden a la solución de los problemas: Anexo A: Flujo de Campo Eléctrico de una Carga Puntual a través de una Superficie Gaussiana Cúbica; y, Anexo B: Movimiento de Oscilación de una Carga Puntual en el Eje de un Anillo Circular Cargado Uniformemente.









3. Capítulo 3: Capacitores, energía eléctrostática y aplicaciones

Para empezar, comenzaremos con una aplicación de conceptos de electrostática expuestos en el capítulo 2, sobre campo eléctrico, potencial eléctrico y el comportamiento de los materiales conductores, en dispositivos conocidos como capacitores o condensadores. Utilizando los principios de conservación de carga eléctrica y de energía, en la sección 1 se analizan sistemas de capacitores conectados en serie, paralelo, y el puente de Wheatstone.

Luego, a partir de estos dispositivos, en la sección 2 consideraremos el comportamiento eléctrico de materiales no conductores o dieléctricos. Se caracteriza a los materiales dieléctricos a través de la polarización eléctrica del material, y se define al vector de desplazamiento eléctrico. La Ley de Gauss para el campo eléctrico (sección 2.7) es entonces remplazada por la Ley de Gauss para el vector de desplazamiento eléctrico en la sección 3. Posteriormente, en la sección 4, se define a la susceptibilidad eléctrica y a la constante dieléctrica de los materiales.

En la sección 5 se incluye una descripción de modelos que tratan sobre el comportamiento eléctrico de los materiales dieléctricos desde el punto de vista microscópico.

Después, en la sección 6, pasamos a completar el esquema electrostático haciendo un análisis adicional sobre consideraciones de energía electrostática asociada con sistemas de carga en reposo. Primero determinaremos la energía electrostática de un sistema de cargas puntuales, y luego desarrollaremos la expresión correspondiente a sistemas de cargas consideradas como un continuo. Sobre este caso transformaremos la expresión de densidades de carga y potencial eléctrico a una expresión en función del campo eléctrico y el vector de desplazamiento eléctrico. Como complemento a esta sección, se analiza la fuerza sobre un dieléctrico parcialmente insertado en un capacitor en función de la energía electrostática.

En la parte final del capítulo se presentan algunas ideas respecto a otras de las aplicaciones típicas de la electrostática, como lo son el electrómetro, el eliminador electrostático de partículas y el tubo de rayos catódicos.

4. Capítulo 4: Ecuación de Laplace

Un enfoque diferente para tratar algunos problemas de electrostática se presenta mediante la solución de la Ecuación de Poisson, y más en concreto a través de la Ecuación de Laplace. En los dos casos se refiere a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales cuyas soluciones deben ser ajustadas a cada situación particular mediante condiciones de frontera. En la sección 1 de este capítulo se muestra de donde surgen estas dos ecuaciones, y algunas características generales de la solución de la Ecuación de Laplace, incluyendo una presentación general de características de las condiciones de frontera. Posteriormente se trata la solución de la Ecuación de Laplace en los sistemas de coordenadas cartesiano (sección 2), esférico (sección 3) y cilíndrico (sección 4), considerando diversas dependencias en las variables de cada caso. En la parte final (sección 5), se incluye el método de momentos para la solución numérica de la Ecuación de Laplace.

5. Capítulo 5: Corriente y resistencia eléctrica